高３から始める数学の勉強の仕方

大学受験で数学を使うが模試ではいまいち点数が取れないという方がいると思います。

中学生の時は得意だったけど高校に入ってから部活と課題で忙しい１年２年を過ごしてきました。

気づいたら高校３年生になっていて、どこから数学を勉強すればよいか迷ってしまいます。

高３からの数学の勉強の仕方

数１数２で優先的に勉強する分野

模試で早く結果を出したいという方は２次関数、三角比、確率、数列、微分、ベクトルから先に勉強することをおすすめします。

具体的な各単元の勉強法について

２次関数の勉強の仕方

平方完成

２次関数を勉強するのには平方完成が速くできるように練習しなければなりません。

入試では係数が文字であることが多いので、

「くくり、半分、２乗を引き、かっこの前の数をかける」何度も練習してください。

グラフを書くときは軸、y切片とx軸との交わりを意識してください。

軸を意識するのは、場合分けのためです。入試の２次関数は模試のように場合分けの問題が多く出ます。

２次関数の場合分け

軸と変域で場合分けするのがコツです。

軸がx=aで変域が-2≦x≦２なら、a＜-2のときと-2＜a＜2のときとa＜２のときで考えてください。

グラフをしっかり書いて変域を色ペンなどで濃くなぞってください。

下に凸の２次関数だと場合分けが足りませんが、まずはこの３か所で分けられるようにして下さい。

軸の数値が決まっていて変域が文字のときでも同じように考えてください。

場合分けのコツ　軸と変域で場合分け

y切片の意識

y切片というのは２次関数がy軸と交わる場所です。

０を通るのか、０より上のプラスを通るのか０より下のマイナスを通るのかを考えてグラフを書きます。

なぜ意識してほしいかというとグラフが書きやすくなるということもありますが、２次不等式や数２の解と係数の問題のためになります。

解がこの範囲でプラスになるとき～という問題や、２つの解で１つが負で１つが１より大きいときの～

という問題に遭遇することになります。その時のために意識しておいてください。

x軸との交点

２次関数がx軸と交わるときはyが０になっています。

グラフを書くときにx軸と交わるか、座標が簡単に求められるかも意識して書いてください。

平方完成するよりも速く描けるように場合もあります。微分積分で面積を考えるときに威力を発揮します。

２次関数の学習と一緒に２次方程式・２次不等式を

どんな時に平方完成するのか、ｙに０を代入して因数分解するのか、判別式を使うのか説明できるようにして下さい。

因数分解できそうだからとりあえずやってみると、どうしたらよいのか戸惑ってしまいます。

たまたま正解しても次に正解できるとは限りません。

平方完成するとグラフの頂点と軸がでます。

ｙに０を代入するとx軸との交点のｘ座標を求める２次方程式になります。

ｙに０を代入して判別式を行うと頂点がx軸より上か下か、接するのかがわかります。

x軸との交点の個数を求めることが出来ます。

因数分解するか平方完成するか判別式を使うかしっかり理解しよう

三角比の勉強の仕方

三角比では計算分野と図形分野の２つあるとみてください。

計算では図形のための正弦定理と余弦定理、三角関数のための三角比の方程式があります。

数Ⅰの三角比なら図形の比重が高くなっています。

sinθとcosθの理解

まず初めにやらなくてはいけないことはsinθの理解です。

sinθとは何でしょうか？

直角三角形で斜辺を１としたときのθ側の辺の大きさのことです。

30°60°90°の直角三角形なら対する辺の比は1:√3:２です。

すべて斜辺の大きさの２で割ると1/2:√3/2:1になります。

それでsin30°=1/2になります。

半径１の円を描いてsin120°＝　　　cos180°=　　がパッと答えられるように練習しましょう。

図と位置関係が把握できればsinθ=1/2のときθは？と聞かれてもすぐにい30°、150°と答えられるようになります。

三角比の不等式の問題は三角関数で必ず使うので図をしっかり書いて確認してください。

三角比の図形問題と円

中３の円の知識が必要になります。

円に内接する四角形の向かい合った角の和が180°になることや、同じ弧に対する中心角は円周角の２倍になるなどです。

入試では平面図形として接弦定理や角の２等分線の性質も混じってきます。

余弦定理

また余弦定理は公式に数値を当てはめるというよりもリズムで覚えてください。

aの２乗＝　で始める形とcosθ=　で書き始めるもの２つともパッと出せるようにしておくと速く解けるようになります。

aの２乗＝　からcosθ＝　の式に変形できるように練習してください。

正弦定理

a/sinA=2Rが正弦定理ですが、aの値を求めるときに先に式を変形してから代入すると分数の分数を避けることが出来ます。

a=2R×sinA

どんな時に正弦定理を使うのか余弦定理を使うのか、面積を求める公式を使うのか、角の２等分線の性質を使うのかがカギです。

三角形で２辺と１つの角がわかっているときは余弦定理です。

３辺がわかり１つの角を求めたいときも余弦定理です。

３角形は３つの角があります。その角に対する辺も３つあります。

この３組の辺と角のうち２組について考えるときに正弦定理を使いまう。

また、三角形の外接円の半径がかかわってきたら正弦定理を使うことが多いです。

確率の問題の勉強の仕方

場合の数ではCとPを説明できるように

場合の数のCとPの違いを簡単に表すと、

Cは選ぶ　は選んで並べる　になります。

だから10C3  は１０個の中からC個選ぶのと

10P3では１０個の中から３個を選んで３個を並べるになるので10P3の方が６倍大きな数になります。

１０P３＝１０C３×３！

確率の問題でも図をしっかり描く

簡単な確率の問題でも図をしっかり描く癖をつけて下さい。

確率の問題は文が長いのが特徴です。読みながら簡単な図を描いて読み終わるころにはおおよその図が書けていればあとは整理して書き直しやすくなります。

いきなり書けと言われても難しいので簡単な問題から練習してください。

問題の意味の理解が難しいとき

入試問題では理解が難しいことがあります。

そんなときは理解できるまで実際に書き出して下さい。例えば

さいころをｎ回投げるとき６の目が３回出る確率をPnとする…

とあったらさいころを４回投げるとどんな式か、５回ではどんな式になるか書き出すと見えてきて式を立てられることがあります。

確率の問題では図を描く　書き出す

条件付確率は分母を減らす

条件付確率は難しいイメージがあります。

でも分母が変わるだけと知っておくと理解できます。例えば

ある部屋があります。部屋の広さを１０とすると畳は部屋の半分にあるので５になります。イスが１を占めています。

問題①　部屋の広さの何分のいくつがイスの大きさか？　答えは1/10になります。

問題②　畳の広さの何分のいくつがイスの大きさか？　答えは1/5になります。

しかし条件付確率の聞き方では、

ある人が畳に座ったとして、畳の上の椅子に座る確率は？と聞いてきます。

式は1/10÷1/2　として1/5の答えに導いています。

最初に解いたように分母をしっかり小さくしてから答えを出すと分かりやすくなります。

条件付確率の「条件」とは分母を小さくするという意味

数列は勉強しやすい

数列は苦手な人が多いです。

とくに漸化式は嫌われてしまっています。

苦手な漸化式とは

漸化式というのは大まかに言いますと、等差数列と等比数列が混ざっている感じです。

混ざっていて考えにくいので漸化式を解くには、

「引いておいて等比数列に直す」

という方法を使います。

それに漸化式はいくつかのパターンの中から出題されます。

抑えてしまえばあとは知っている漢字を書くようなものです。

シグマの意味を理解しよう

Σの記号が出てきます。意味をしっかり確認しましょう。

基本的な意味は「数値を代入して足し合わせる」

意味を確認してもう一度復習してみてください。

２度目の勉強ということもあり、きっと飲み込みがよくなっているはずです。

数列を得意にするには

数列をもっとできるようにするには公式を導いてみることが大切です。

等差数列の一般項や等差数列の和の公式、

等比数列の一般項や等比数列の和の公式を導いてみよう。

教科書に書いてあります。

数列を得意にするには公式を理解して公式を導く　パターンを抑える

ベクトルの勉強の仕方

ベクトルは平面ベクトルと空間ベクトルがありますが、徹底的に平面ベクトルの勉強をするのがおすすめです。

なかでも「３点が一直線上にあるとき」の問題と

三角形ABCで1:2と2:3に内聞する点の交点をPとしてt:(1-t)を利用してAPを求める問題をたくさん解いてください。

同じ問題でも繰り返して出来るだけ速く解けるようにしてください。

どうもつっかえるようなら、内積の問題や６角形でADを表す問題を解いて練習してください。